Primitives et Calcul d’une intégrale

« Primitives et Calcul d’une intégrale I) Primitive 1) Définition : Soit 𝒇 une fonction définie sur un intervalle I. On appelle primitive de 𝒇 sur I, toute fonction 𝑭 dérivable sur I dont la dérivée 𝑭’ est égale à 𝒇. Exemple : 𝑓 la fonction définie sur IR par 𝑓(𝑥) = 5𝑥 + 2. 5 2 5 Les fonctions 𝐹 et 𝐺 définies sur IR par 𝐹(𝑥) = 𝑥 + 2𝑥 – 7 et 𝐺(𝑥) = 𝑥 2 + 2𝑥 + 8 sont 2 2 des primitives de 𝑓 . Soit 2) Ensemble des primitives d’une fonction : a) Propriété : Soit 𝒇 une fonction définie sur un intervalle 𝑰.

On suppose qu’il existe une primitive 𝑭 de 𝒇 sur 𝑰. L’ensemble des primitives de 𝒇 sur 𝑰 est l’ensemble des fonctions 𝑮 définies sur 𝑰 par 𝑮(𝒙) = 𝑭(𝒙) + 𝒌 où 𝒌 décrit IR. Preuve : Soit 𝐺 une primitive de 𝑓 sur 𝐼 .

On a donc 𝐺’ = 𝐹’ = 𝑓. Donc pour tout 𝑥  𝐼 , on a (𝐺 – 𝐹)’(𝑥) = 0. Donc la fonction 𝐺 – 𝐹 est constante sur l’intervalle 𝐼 , il existe donc un réel 𝑘 tel que pour tout 𝑥  𝐼 , on a (𝐺 – 𝐹)(𝑥) = 𝑘 d’où 𝐺(𝑥) = 𝐹(𝑥) + 𝑘 pour tout 𝑥  𝐼 . Réciproquement soit On a 𝐺 la fonction définie sur 𝐼 par 𝐺(𝑥) = 𝐹(𝑥) + 𝑘 où 𝑘  IR. 𝐺’(𝑥) = 𝐹’(𝑥) + 0 donc 𝐺’(𝑥) = 𝑓(𝑥) pour tout 𝑥  𝐼 donc 𝐺 est une primitive de 𝑓 sur 𝐼 . Remarques : Si la fonction 𝑓 admet une primitive sur un intervalle 𝐼 alors elle en admet une infinité. 𝐺 et 𝐹 deux primitives de 𝑓 sur 𝐼 tels que 𝐺(𝑥) =𝐹(𝑥) + 𝑘, alors dans un repère orthogonal ( 𝑂 ; 𝑖⃗ , 𝑗⃗ ) la courbe représentative de 𝐺 est obtenue à partir de la courbe représentative de 𝐹 par translation de vecteur 𝑗⃗ . Soit. »